Dérivée du logarithme népérien

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La fonction logarithme népérien est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}_{+}^{*}\) et, pour tout réel \(x\) strictement positif, \((\text{ln}(x))'= \dfrac{1}{x}\).

Le but de l'exercice  est de de retrouver l'expression de cette dérivée.
On appelle fonction identité et on la note \(Id\) la fonction définie sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb R\) par \(Id(x)=x\).
On pose, pour tout réel \(x\) strictement positif, \(v(x) = \text{ln}(x)\) et, pour tout réel \(x\), \(u(x) = \text{e}^x\).

1. Démontrer que \(u \circ v = Id\) sur un intervalle \(I\) que l'on précisera.
On dit que les fonctions exponentielle et logarithme népérien sont réciproques l'une de l'autre.  
2. Justifier que \(u \circ v\) est dérivable sur \(I\), puis exprimer la dérivée de la fonction composée \(u \circ v\) en fonction de \(v'\).
3. Justifier que, pour tout \(x\) dans \(I\) , \(v'(x)\times u'(v(x))=1\).
4. Conclure.